Question

17．已知抛物线x²=4y的焦点为F，P为该抛物线上的一个动点．
（1）当|PF|=2时，求点P的坐标；
（2）过F且斜率为1的直线与抛物线交与两点AB，若P在弧AB上，求△PAB面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）当|PF|=2时，利用抛物线的定义，即可求点P的坐标；
（2）先求出|AB|，再计算抛物线上点到直线的最大距离，即可求出△PAB的面积的最大值．

解答 解：（1）设P（x，y），则y+1=2，∴y=1，
∴x=±2，
∴P（±2，1）；
（2）过F的直线方程为y=x+1，代入抛物线方程，可得y²-6y+1=0，
可得A（2-2$\sqrt{2}$，3-2$\sqrt{2}$），B（2+2$\sqrt{2}$，3+2$\sqrt{2}$），
∴|AB|=$\sqrt{2}$•|2+2$\sqrt{2}$-2+2$\sqrt{2}$|=8．
平行于直线l：x-y+1=0的直线设为x-y+c=0，与抛物线C：x²=4y联立，可得x²-4x-4c=0，
∴△=16+16c=0，∴c=-1，
两条平行线间的距离为$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴△PAB的面积的最大值为$\frac{1}{2}×8×\sqrt{2}$=4$\sqrt{2}$．

点评 本题考查抛物线的方程与性质，考查△PAB的面积的最大值，考查直线与抛物线的位置关系，求出抛物线上点到直线的最大距离是关键．