Question

7．已知等差数列{an}满足已知等差数列{ a_n }满足a₂=0，a₆+a₈=-10
（I）求数列{a_n }的通项公式；
（II）求数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}$}的前n项和．

Answer 1

分析 （I）设等差数列{a_n }的公差为d，顶点关于首项和公差的方程组解之；
（II）设数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}$}的前n项和为S_n，利用错位相减法求和．

解答 解：（I）设等差数列{a_n }的公差为d，由已知条件可得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+d=0}\\{2{a}_{1}+12d=-10}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{d=-1}\end{array}\right.$，
故数列{a_n }的通项公式为a_n=2-n；    …（6分）
（II）设数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}$}的前n项和为S_n，即S_n=${a}_{1}+\frac{{a}_{2}}{2}+…+\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}$，S₁=a₁=1，
$\frac{{S}_{n}}{2}=\frac{{a}_{1}}{2}+\frac{{a}_{2}}{4}+…+\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}+\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$…（8分）
所以，当n＞1时，两式相减得到$\frac{{S}_{n}}{2}={a}_{1}+\frac{{a}_{2}-{a}_{1}}{2}+…+\frac{{a}_{n}-{a}_{{a}_{n-1}}}{{2}^{n-1}}-\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$
=1-（$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+…+\frac{1}{{2}^{n-1}}$）-$\frac{2-n}{{2}^{n}}$=1-（1-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$）-$\frac{2-n}{{2}^{n}}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$  …（12分）
所以${S}_{n}=\frac{n}{{2}^{n-1}}$                            …（13分）
综上，数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}$}的前n项和为$\frac{n}{{2}^{n-1}}$．    …（14分）

点评 本题考查了等差数列的通项公式的求法以及利用错位相减法求数列的前n项和；经常考查，注意掌握．