Question

12．试用列举法表示集合M={x|x∈R，x＞-1且$\frac{x+1}{{x}^{2}-3x+3}$∈Z}={2-$\sqrt{2}$，2+$\sqrt{2}$，1，$\frac{5}{2}$，2，$\frac{4}{3}$}．

Answer 1

分析 根据基本不等式，可求出$\frac{x+1}{{x}^{2}-3x+3}$∈（0，$\frac{2\sqrt{7}+5}{3}$]，解方程求出满足条件的x值，可得答案．

解答 解：∵x＞-1，
∴$x+1+\frac{7}{x+1}$≥2$\sqrt{7}$，
∴$\frac{x+1}{{x}^{2}-3x+3}$=$\frac{1}{x+1+\frac{7}{x+1}-5}$∈（0，$\frac{2\sqrt{7}+5}{3}$]，
若$\frac{x+1}{{x}^{2}-3x+3}$∈Z，
则$\frac{x+1}{{x}^{2}-3x+3}$=1，或$\frac{x+1}{{x}^{2}-3x+3}$=2，或$\frac{x+1}{{x}^{2}-3x+3}$=3，
解得：x=2-$\sqrt{2}$，或x=2+$\sqrt{2}$，或x=1，或x=$\frac{5}{2}$，或x=2，或x=$\frac{4}{3}$，
故M={2-$\sqrt{2}$，2+$\sqrt{2}$，1，$\frac{5}{2}$，2，$\frac{4}{3}$}，
故答案为：{2-$\sqrt{2}$，2+$\sqrt{2}$，1，$\frac{5}{2}$，2，$\frac{4}{3}$}

点评 本题考查的知识点是集合表示法，基本不等式，是集合和不等式的综合应用，难度中档．