Question

2．已知函数f（x）=x|2a-x|+2x，g（x）=2ax²+2x-3-a，a∈R．
（1）若a=0，判断函数y=f（x）的奇偶性，并加以证明；
（2）若a=2时，函数f（x）-m=0有两个零点，求实数m的值；
（3）若函数g（x）在区间[-1，1]上有零点，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）若a=0，根据函数奇偶性的定义即可判断函数y=f（x）的奇偶性．
（2）求出f（x）的表达式，利用数形结合进行求解即可．
（3）讨论a 是否为0，当a≠0时，考虑△=0的情况以及在[-1，1]上具有单调性用零点定理解决．

解答 解：（1）函数y=f（x）为奇函数．
当a=0时，f（x）=x|x|+2x，
∴f（-x）=-x|x|-2x=-f（x），
∴函数y=f（x）为奇函数；
（2）若a=2时，f（x）=x|4-x|+2x=x|x-4|+2x=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-4x+2x=（x-1）^{2}-1}&{x≥4}\\{-{x}^{2}+6x=-（x-3）^{2}+9，}&{x＜4}\end{array}\right.$，
由f（x）-m=0得f（x）=m，
作出f（x）的图象如图：
由图象知当8≤m＜9时，直线x=m与f（x）有两个不同的交点，
此时f（x）-m=0有两个零点．
（3）若a=0，则g（x）=2x-3，令由g（x）=0得，x=$\frac{3}{2}$∉[-1，1]，不符题意，故a≠0，
当g（x）在[-1，1]上有一个零点时，此时$\left\{\begin{array}{l}△=4+8a（3+a）=0\\-1≤-\frac{1}{2a}≤1\end{array}\right.$或g（-1）•g（1）≤0
解得$a=\frac{{-3-\sqrt{7}}}{2}$或1≤a≤5，
当g（x）在[-1，1]上有两个零点时，
则$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△=4+8a（3+a）＞0}\\{-1＜-\frac{1}{2a}＜1}\\{g（-1）＞0，g（1）＞0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{△=4+8a（3+a）＞0}\\{-1＜-\frac{1}{2a}＜1}\\{g（-1）＜0，g（1）＜0}\end{array}\right.$，
解得a＞5或$a＜\frac{{-3-\sqrt{7}}}{2}$
故实数a的取值范围为$（-∞，\frac{-3-\sqrt{7}}{2}]∪[1，+∞）$．

点评 本题考查函数奇偶性的判断，函数方程与零点的应用以及二次函数与方程之间的关系，二次函数在给定区间上的零点问题，要注意函数图象与x轴相切的情况，属于中档题．