Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，如图E、F分别是 BB₁，CD的中点，
（1）求证：

D1F

⊥

AE

；
（2）求＜

EF

，

CB1

＞．

Answer 1

分析：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，只要证明

D1F

•

AE

=0，即可得出

D1F

⊥

AE

．
（2）利用向量的夹角公式即可得出．

解答：解：建立如图所示的空间直角坐标系，
（1）不妨设正方体的棱长为1，
则D（0，0，0），A（1，0，0），D₁（0，0，1），
E（1，1，

1

2

），F（0，

1

2

，0），
则

D1F

=（0，

1

2

，-1），

AE

=（0，1，

1

2

），
∴

D1F

•

AE

=0，
∴

D1F

⊥

AE

．
（2）∵B₁（1，1，1），C（0，1，0），∴

CB1

=（1，0，1），

EF

=（-1，-

1

2

，-

1

2

），
∴

EF

•

CB1

=-1+0-

1

2

=-

3

2

，|

EF

|=

1+ 1 4 + 1 4

=

3 2

，|

CB1

|=

2

，
则cos?

EF

，

CB1

＞=

EF • CB1

| EF |•| CB1 |

=

- 3 2

3 2 • 2

=-

3

2

．
∴?

EF

，

CB1

＞=150°．

点评：本题考查了通过建立空间直角坐标系利用向量的数量积证明垂直、向量的夹角公式，属于基础题．