Question

16、在正方体ABCD-A′B′C′D′中，过对角线BD′的一个平面交AA′于E，交CC′于F，则
①四边形BFD′E一定是平行四边形；
②四边形BFD′E有可能是正方形；
③四边形BFD′E在底面ABCD内的投影一定是正方形；
④平面BFD′E有可能垂直于平面BB′D．
以上结论正确的为

①③④

．（写出所有正确结论的编号）

Answer 1

分析：由平行平面的性质可得①是正确的，当E、F为棱中点时，四边形为菱形，但不可能为正方形，故③④正确，②错误．

解答：解：
①：∵平面AB^/∥平面DC^/，平面BFD′E∩平面AB^/=EB，平面BFD′E∩平面DC^/=D^/F，∴EB∥D^/F，同理可证：D^/E∥FB，故四边形BFD′E一定是平行四边形，即①正确；
②：当E、F为棱中点时，四边形为菱形，但不可能为正方形，故②错误；
③：四边形BFD′E在底面ABCD内的投影为四边形ABCD，所以一定是正方形，即③正确；
④：当E、F为棱中点时，EF⊥平面BB′D，又∵EF?平面BFD′E，∴此时：平面BFD′E⊥平面BB′D，即④正确．
故答案为：①③④

点评：本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系，空间中直线与平面之间的位置关系，平面与平面之间的位置关系，考查空间想象能力和思维能力．