Question

已知函数f（x）=

a

a2-1

（a^x-a^-x）（a＞0，且a≠1），当x∈[-1，1]时，f（x）≥b恒成立，求b的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：由函数单调性的定义得到函数在[-1，1]上为增函数，然后求得f（-1）的值得答案．

解答： 解：设-1≤x₁＜x₂≤1，
则f（x₁）-f（x₂）=

a

a2-1

(ax1-a-x1-ax2+a-x2)
=

a

a2-1

(ax1-ax2+

1

ax2

-

1

ax1

)
=

a

a2-1

(ax1-ax2+

ax1-ax2

ax1ax2

)
=

a

a2-1

(ax1-ax2)(1+

1

ax1ax2

)．
若a＞1，

a

a2-1

＞0，ax1＜ax2，1+

1

ax1ax2

＞0，
此时f（x₁）-f（x₂）＜0，f（x₁）＜f（x₂）．
f（x）在[-1，1]上为增函数，
若0＜a＜1，

a

a2-1

＜0，ax1＞ax2，1+

1

ax1ax2

＞0，
此时f（x₁）-f（x₂）＜0，f（x₁）＜f（x₂）．
f（x）在[-1，1]上为增函数，
综上，对于a＞0，且a≠1，当x∈[-1，1]时，f（x）为增函数．
∴当x∈[-1，1]时，要使f（x）≥b恒成立，
则b≤f(-1)=

a

a2-1

(a-1-a)=-1．
∴b的取值范围是（-∞，-1）．

点评：本题考查恒成立问题，考查了函数的性质，训练了分类讨论的数学思想方法，是中档题．