Question

3．设各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n满足2S_n²-（3n²-n-4）S_n-2（3n²-n）=0，n∈N^*．
（1）求a₁的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）令b_n=$\frac{3}{{a}_{n}+2}$，证明：对一切正整数n，有b₁b₂+b₂b₃+b₃b₄+…+b_nb_n+1＜1．

Answer 1

分析 （1）通过令n=1，结合数列{a_n}的各项均为正数，计算即得结论；
（2）通过对2S_n²-（3n²-n-4）S_n-2（3n²-n）=0变形可知（S_n+2）[2S_n-（3n²-n）]=0，通过a_n＞0可知S_n=$\frac{3{n}^{2}-n}{2}$，利用当n≥2时a_n=S_n-S_n-1计算即得结论；
（3）通过裂项可知$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，进而并项相加即得结论．

解答 （1）解：令n=1，得S₁²-S₁-2=（S₁+2）（S₁-1）=0，
因为数列{a_n}的各项均为正数，
所以S₁=1，即a₁=1；
（2）解：由2S_n²-（3n²-n-4）S_n-2（3n²-n）=0得（S_n+2）[2S_n-（3n²-n）]=0，
因为a_n＞0，
所以S_n＞0，从而S_n+2＞0，
所以S_n=$\frac{3{n}^{2}-n}{2}$，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{3{n}^{2}-n}{2}$-$\frac{3（n-1）^{2}-（n-1）}{2}$=3n-2，
当n=1时，a₁=1满足上式，
所以数列{a_n}的通项公式为a_n=3n-2；
（3）证明：因为b_n=$\frac{3}{{a}_{n}+2}$=$\frac{3}{3n-2+2}$=$\frac{1}{n}$，
所以$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
所以b₁b₂+b₂b₃+b₃b₄+…+b_nb_n+1=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$＜1．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，裂项求和是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．