Question

8．在二项式（$\frac{1}{2}$+2x）ⁿ的展开式中：
（1）若第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项；
（2）若所有项的二项式系数和等于4096，求展开式中系数最大的项．

Answer 1

分析 （1）由第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列求得n的值，可得展开式中二项式系数最大的项．
（2）求得n=12，再利用二项展开式的通项公式，求得展开式中系数最大的项．

解答 解：（1）因为2${C}_{n}^{5}$=${C}_{n}^{4}$+${C}_{n}^{6}$，所以 n=7，或 n=14．
当n=7时，二项式系数最大的项为 T₄=$\frac{35}{2}$x³，T₅=70x⁴．
当n=14时，二项式系数最大的项为T₈=${C}_{17}^{4}$•x⁷．
（2）因为2ⁿ=4096，所以n=12．
又因为 $\left\{\begin{array}{l}{{C}_{12}^{k}{•（\frac{1}{2}）}^{12-k}{•2}^{k}{≥C}_{12}^{k-1}{•（\frac{1}{2}）}^{13-k}{•2}^{k-1}}\\{{C}_{12}^{k}{•（\frac{1}{2}）}^{12-k}{•2}^{k}{≥C}_{12}^{k+1}{•（\frac{1}{2}）}^{11-k}{•2}^{k+1}}\end{array}\right.$，所以k=10，所以展开式中系数最大的项为T₁₁=33•2⁹•x¹⁰．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题．