Question

14．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$及实数t满足|$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow{b}$|=3．若$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=2，则t的最大值是$\frac{9}{8}$．

Answer 1

分析 由于求t的最大值，即t＞0，运用两边平方，结合向量的数量积的性质以及基本不等式，计算即可得到t的最大值．

解答 解：由于求t的最大值，即t＞0，
由|$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow{b}$|=3，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=2，
两边平方可得（$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow{b}$）²=9，
即为$\overrightarrow{a}$²+t²$\overrightarrow{b}$²+2t$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=9，
即有$\overrightarrow{a}$²+t²$\overrightarrow{b}$²=9-4t，
由$\overrightarrow{a}$²+t²$\overrightarrow{b}$²≥2t|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|≥2t$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=4t，
当且仅当$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$同向时，取得等号．
由9-4t≥4t，解得t≤$\frac{9}{8}$．
即有t的最大值为$\frac{9}{8}$．
故答案为：$\frac{9}{8}$．

点评 本题考查向量的数量积的性质，考查基本不等式的运用：求最值，考查运算化简能力，属于中档题．