Question

已知椭圆过点，且离心率．

（I）求椭圆C的方程；

（II）已知过点的直线与该椭圆相交于A、B两点，试问：在直线上是否存在点P，使得是正三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）由题意得    ……2分  解得…………………4分

所以椭圆的方程为． …………………………………… 5分

（Ⅱ）当直线的斜率为0时，不存在符合题意的点；  …………………6分

当直线的斜率不为0时，设直线的方程为,

代入，整理得,

设，，则，,

设存在符合题意的点，

则

, …………………………………8分

设线段的中点，则，

所以,

因为是正三角形，所以，且,   ……………9分                      

由得即，所以,

所以,

……………10分

由得，

解得，所以．……………………………………………………12分

由得,

所以,

所以存在符合题意的点．