Question

设a为实数，记函数f(x)＝的最大值为g(a)．

(1)设t＝，求t的取值范围，并把f(x)表示为t的函数m(t)；

(2)求g(a)；

(3)试求满足g(a)＝g()的所有实数a．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵t＝， 　　∴要使有t有意义，必须1＋x≥0且1－x≥0，即－1≤x≤1． 　　∴t2＝2＋∈[2，4]，t≥0　　　　　　　　　　① 　　∴t的取值范围是[，2]． 　　由①得， 　　∴m(t)＝a(t2－1)＋t＝at2＋t－a，t∈[，2]． 　　(2)由题意知g(a)即为函数m(t)＝at2＋t－a，t∈[，2]的最大值． 　　注意到直线t＝是抛物线m(t)＝at2＋t－a的对称轴，分以下几种情况讨论． 　　①当a＞0时，函数y＝m(t)，t∈[，2]的图像是开口向上的抛物线的一段， 　　由t＝＜0知m(t)在[，2]上单调递增，∴g(a)＝m(2)＝a＋2． 　　②当a＝0时，m(t)＝t，t∈[，2]，∴g(a)＝2． 　　③当a＜0时，函数y＝m(t)，t∈[，2]的图像是开口向下的抛物线的一段， 　　若t＝∈(0，]，即a≤，则g(a)＝m()＝． 　　若t＝∈(，2]，即＜a≤，则g(a)＝m()＝． 　　若t＝∈(2，＋∞)，即＜a＜0，则g(a)＝m(2)＝a＋2． 　　综上有g(a)＝ 　　(3)情形1：当a＜－2时＞，此时g(a)＝，g()＝＋2， 　　由2＋＝解得a＝－1，与a＜－2矛盾． 　　情形2：当－2≤a＜时，＜≤时，此时g(a)＝，g()＝， 　　由＝解得，a＝与a＜矛盾． 　　情形3：当≤a≤，≤≤时，此时g(a)＝＝g()， 　　所以≤a≤． 　　情形4：当＜a≤时，－2≤＜－2，此时g(a)＝， 　　g()＝，解得a＝，与a＞矛盾． 　　情形5：当＜a＜0时，＜－2，此时g(a)＝a＋2，g()＝2， 　　由a＋2＝解得a＝，与a＞矛盾． 　　情形6：当a＞0时，＞0，此时g(a)＝a＋2，g()＝＋2， 　　由a＋2＝＋2，解得a＝±1，由a＞0得a＝1． 　　综上知，满足g(a)＝g()的所有实数a为≤a≤或a＝1．