Question

设a为实数，记函数f（x）=a

1-x2

+

1+x

+

1-x

的最大值为g（a）．
（1）设t=

1+x

+

1-x

，求t的取值范围，并把f（x）表示为t的函数m（t）；
（2）求g（a）；
（3）试求满足g（a）=g（

1

a

）的所有实数a．

Answer 1

分析：（1）令t=

1+x

+

1-x

，由1+x≥0且1-x≥0，得-1≤x≤1，进而得m（t）的解析式．
（2）由题意知g（a）即为函数m（t）=

1

2

at²+t-a，t∈[

2

，2]的最大值，分a＞0、a=0、a＜0三种情况利用函数的单调性求出函数f（x）的最大值为g（a）；
（3）分类讨论，求得g（a）的范围，即可求得满足g（a）=g（

1

a

）的所有实数a．

解答：解：（1）∵t=

1+x

+

1-x

，要使t有意义，必须1+x≥0且1-x≥0，即-1≤x≤1．
∵t²=2+2

1-x2

∈[2，4]，且t≥0…①，
∴t的取值范围是[

2

，2]．
由①得：

1-x2

=

1

2

t²-1，∴m（t）=a（

1

2

t²-1）+t=

1

2

at²+t-a，t∈[

2

，2]．
（2）由题意知g（a）即为函数m（t）=

1

2

at²+t-a，t∈[

2

，2]的最大值，
∵直线t=-

1

a

是抛物线m（t）=

1

2

at²+t-a的对称轴，∴可分以下几种情况进行讨论：
1°当a＞0时，函数y=m（t），t∈[

2

，2]的图象是开口向上的抛物线的一段，
由t=-

1

a

＜0知m（t）在t∈[

2

，2]上单调递增，故g（a）=m（2）=a+2；
2°当a=0时，m（t）=t，在t∈[

2

，2]上单调递增，有g（a）=2；
3°当a＜0时，函数y=m（t），t∈[

2

，2]的图象是开口向下的抛物线的一段，
若t=-

1

a

∈（0，

2

]即a≤-

2

2

时，g（a）=m（

2

）=

2

，
若t=-

1

a

∈（

2

，2]即a∈（-

2

2

，-

1

2

]时，g（a）=m（-

1

a

）=-a-

1

2a

，
若t=-

1

a

∈（2，+∞）即a∈（-

1

2

，0）时，g（a）=m（2）=a+2．
综上所述，有g（a）=

a+2，a＞- 1 2 -a- 1 2a ，- 2 2 ＜a≤- 1 2 2 ，a≤- 2 2

；
（3）当a＞-

1

2

时，g（a）=a+2＞

3

2

＞

2

a∈（-

2

2

，-

1

2

]时，-a∈[

1

2

，

2

2

]，-a≠-

1

2a

g（a）=-a-

1

2a

＞2

(-a)•(- 1 2a )

=

2

∴a＞-

2

2

时，g（a）＞

2

当a＞0时，

1

a

＞0，由g（a）=g（

1

a

）可得a+2=

1

a

+2，∴a=1；
当a＜0时，a•

1

a

=1，∴a≤-1或

1

a

≤-1
∴g（a）=

2

或g（

1

a

）=

2

要使g（a）=g（

1

a

），只需a≤-

2

2

，

1

a

≤-

2

2

，∴-

2

≤a≤-

2

2

综上，满足g（a）=g（

1

a

）的所有实数a-

2

≤a≤-

2

2

或a=1．

点评：本题主要考查二次函数在闭区间上的最值的求法，函数解析式求解的方法，体现了分类讨论的数学思想．