Question

设a为实数，记函数f(x)=asin2x+

2

sin(x+

π

4

)(x∈R)的最大值为g（a）．
（1）若a=

1

2

，解关于求x的方程f（x）=1；
（2）求g（a）．

Answer 1

分析：（1）当a=

1

2

，由方程f（x）=1，可得sinxcosx+sinx+cosx=1．令t=sinx+cosx，则t²=1+2sinxcosx，方程可化为 t²+2t-3=0，解得t=1，即sinx+cosx=1，即 sin(x+

π

4

)=

2

2

，由此求得x的值的集合．
（2）由题意可得t的取值范围是[-

2

，

2

]，g（a）即为函数m（t）=at²+t-a，t∈[-

2

，

2

]的最大值．直线t=-

1

2a

是抛物线m（t）的对称轴，可分a＞0、a=0、a＜0三种情况，分别求得g（a）．

解答：解：（1）由于当a=

1

2

，方程f（x）=1，即 

1

2

sin2x+

2

sin(x+

π

4

)=1，即 sinxcosx+

2

[sinxcos

π

4

+cosxsin

π

4

]=1，
所以，sinxcosx+sinx+cosx=1 （1）．…1分
令t=sinx+cosx，则t²=1+2sinxcosx，所以sinxcosx=

1

2

(t2-1)．…3分
所以 方程（1）可化为 t²+2t-3=0，解得t=1，t=-3（舍去）．…5分
所以 sinx+cosx=1，即 sin(x+

π

4

)=

2

2

，
解得所求x的集合为{x|x=2kπ，2kπ+

π

2

k∈Z}．…7分
（2）令t=sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)，∴t的取值范围是[-

2

，

2

]．
由题意知g（a）即为函数m（t）=at²+t-a，t∈[-

2

，

2

]的最大值，…9分
∵直线t=-

1

2a

是抛物线m（t）=at²+t-a的对称轴，∴可分以下几种情况进行讨论：
①当a＞0时，函数y=m（t），t∈[-

2

，

2

]的图象是开口向上的抛物线的一段，
由t=-

1

2a

＜0知m（t）在t∈[-

2

，

2

]上单调递增，故g（a）=m(

2

)=a+

2

．…11分
②当a=0时，m（t）=t，t∈[-

2

，

2

]，有g（a）═

2

；…12分
③当a＜0时，函数y=m（t），t∈[-

2

，

2

]的图象是开口向下的抛物线的一段，
若t=-

1

2a

∈(0，

2

]，即a≤-

2

4

时，g（a）=m(-

1

2a

)=-a-

1

4a

，…13分
若t=-

1

2a

∈(

2

，+∞)，即a∈(-

2

4

，0)时，g（a）=m(

2

)=a+

2

．…15分
综上所述，有g(a)=

a+ 2 ，a≥- 2 4 -a- 1 4a ，a＞- 2 4

．…16分．

点评：本题主要考查两角和差的三角公式、二倍角公式的应用，正弦函数的定义域和值域，二次函数的性质，体现了转化以及分类讨论的数学思想，属于中档题．