Question

已知函数f（x）=e^x（ax+2）（e为自然对数的底数，a∈R为常数）．对于函数g（x），h（x），若存在常数k，b，对于任意x∈R，不等式g（x）≤kx+b≤h（x）都成立，则称直线y=kx+b是函数g（x），h（x）的分界线．
（Ⅰ）若a=-1，求f（x）的极值；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）设a=2，试探究函数g（x）=-x²+4x+2与函数f（x）是否存在“分界线”？若存在，求出分界线方程；若不存在，试说明理由．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）若a=-1，求函数的导数，即可求出f（x）的极值；
（Ⅱ）先求出函数f（x）的导函数，然后讨论a与0的大小关系，在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，即可求出函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）假设存在，令x=0，求出m的值，从而kx+1≥-x²+4x+2恒成立，然后求函数的恒成立问题即可得到结论．

解答： 解：（Ⅰ）若a=-1，则f（x）=e^x（-x+2），
f′（x）=e^x（-x+1），
当x＞1时，f′（x）＜0，函数单调递减，
当x＜1，f′（x）＞0，函数单调递增，
故当x=1时函数f（x）取得极大值f（1）=e；
（Ⅱ）f′（x）=e^x（ax+a+2），
当a＞0时，f′（x）＞0?ax＞-a-2，即x＞-1-

2

a

，
函数f（x）在区间（-1-

2

a

，+∞）上是增函数，
由f′（x）＜0，得x＜-1-

2

a

，
在区间（-∞，-1-

2

a

）上是减函数；
当a=0时．f′（x）＞0，函数f（x）是区间（-∞，+∞）上的增函数；
当a＜0时，f′（x）＞0?ax＞-a-2即x＜-1-

2

a

，
函数f（x）在区间（-∞，-1-

2

a

）上是增函数，在区间（-1-

2

a

，+∞）上是减函数．
（Ⅲ）当a=2时，f（x）=e^x（2x+2），
若存在，g（x）≤kx+b≤h（x）
则-x²+4x+2≤kx+m≤e^x（2x+2）恒成立，
令x=0，则2≤m≤2，所以m=2，
因此：kx+2≥-x²+4x+2恒成立，即x²+（k-4）x≥0恒成立，
由△≤0得到（k-4）²≤0：即k=4
现在只要判断e^x（2x+2）≥4x+2是否恒成立，
设ϕ（x）=e^x（2x+2）-（4x+2），
因为：ϕ′（x）=e^x（2x+4）-4，
当x＞0时，e^x＞1，2x+4＞4，ϕ′（x）＞0，
当x＜0时，e^x（2x+2）＜2e^x＜2，ϕ′（x）＜0，
所以ϕ（x）≥ϕ（0）=0，即e^x（2x+2）≥4x+2恒成立，
所以函数f（x）与函数g（x）=-x²+4x+2存在“分界线”．

点评：本题主要考查了函数恒成立问题，以及利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力．