题目内容

如图：某污水处理厂要在一个矩形污水处理池（ABCD）的池底水平铺设污水净化管道（Rt△FHE，H是直角顶点）来处理污水，管道越短，铺设管道的成本越低．设计要求管道的接口H是AB的中点，E，F分别落在线段BC，AD上．已知AB=20米， $数学公式$ 米，记∠BHE=θ．
（1）试将污水净化管道的长度L表示为θ的函数，并写出定义域；
（2）若 $数学公式$ ，求此时管道的长度L；
（3）问：当θ取何值时，铺设管道的成本最低？并求出此时管道的长度．

解：（1） $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ …（2分） $\text{[math]}$ …（4分）
由于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ …（5分） $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ …（6分）
（2） $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，…（8分） $\text{[math]}$ ；…（10分）
（3） $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
设sinθ+cosθ=t则 $\text{[math]}$ …（12分）
由于 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ …（14分） $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 内单调递减，于是当 $\text{[math]}$ 时 $\text{[math]}$ ．L的最小值 $\text{[math]}$ 米．…（15分）
答：当 $\text{[math]}$ 时，所铺设管道的成本最低，此时管道的长度为 $\text{[math]}$ 米…（16分）
分析：（1）由∠BHE=θ，H是AB的中点，易得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，由污水净化管道的长度L=EH+FH+EF，则易将污水净化管道的长度L表示为θ的函数．
（2）若 $\text{[math]}$ ，结合（1）中所得的函数解析式，代入易得管道的长度L的值．
（3）污水净化效果最好，即为管道的长度最长，由（1）中所得的函数解析式，结合三角函数的性质，易得结论．
点评：本题考查的知识点是在实际问题中建立三角函数模型及解三角形，根据已知条件构造出L关于θ的函数，是解答本题的关键．

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米，记∠BHE=θ．
（1）试将污水净化管道的长度L表示为θ的函数，并写出定义域；
（2）若sinθ+cosθ=

，求此时管道的长度L；
（3）当θ取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度．

（2009•浦东新区一模）如图：某污水处理厂要在一个矩形污水处理池（ABCD）的池底水平铺设污水净化管道（Rt△FHE，H是直角顶点）来处理污水，管道越短，铺设管道的成本越低．设计要求管道的接口H是AB的中点，E，F分别落在线段BC，AD上．已知AB=20米，AD=10

米，记∠BHE=θ．
（1）试将污水净化管道的长度L表示为θ的函数，并写出定义域；
（2）若sinθ+cosθ=

，求此时管道的长度L；
（3）问：当θ取何值时，铺设管道的成本最低？并求出此时管道的长度．

如图：某污水处理厂要在一个矩形污水处理池（ABCD）的池底水平铺设污水净化管道（Rt△FHE，H是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口H是AB的中点，E，F分别落在线段BC，AD上．已知AB=20米，AD=10

米，记∠BHE=θ．
（1）试将污水净化管道的长度L表示为θ的函数，并写出定义域；
（2）问：当θ取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度．

如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池（ABCD）的池底水平铺设污水净化管道（Rt△FHE，H是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口H是AB的中点，E，F分别落在线段BC，AD上．已知AB=20米，

米，记∠BHE=θ．
（1）试将污水净化管道的长度L表示为θ的函数，并写出定义域；
（2）若

，求此时管道的长度L；
（3）当θ取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度．

如图：某污水处理厂要在一个矩形污水处理池的池底水平铺设污水净化管道，是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好.设计要求管道的接口是的中点，分别落在线段上.已知米，米，记.

（1）试将污水净化管道的长度表示为的函数,并写出定

义域；

（2）若，求此时管道的长度；

（3）问：当取何值时，污水净化效果最好？并求出此时

管道的长度.