题目内容

18．$（a+\frac{1}{x}）{（1+x）^4}$展开式中x2的系数为0，则a=（　　）
A．$\frac{2}{3}$B．$-\frac{2}{3}$C．$\frac{3}{2}$D．$-\frac{3}{2}$

分析 把（1+x）4按照二项式定理展开，即可求得$（a+\frac{1}{x}）{（1+x）^4}$的展开式中x2的系数，再根据展开式中x2的系数为0，求得实数a的值．

解答 解：∵$（a+\frac{1}{x}）{（1+x）^4}$=（a+$\frac{1}{x}$）（1+4x+6x2+4x3+x4 ），
∴展开式中x2的系数为6a+4=0，求得a=-$\frac{2}{3}$，
故选B．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．

练习册系列答案
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5．一个几何体的三视图及尺寸如图所示，其中正视图是直角三角形，侧视图是半圆，俯视图是等腰三角形，该几何体的体积为（　　）
A．$\frac{4}{3}$πB．$\frac{4\sqrt{2}}{3}$πC．4πD．4$\sqrt{2}$π
6．设椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，下顶点为B，直线BF2的方程为x-y-b=0．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）设P为椭圆上异于其顶点的一点，P到直线BF2的距离为$\sqrt{2}$b，且三角形PF1F2的面积为$\frac{1}{3}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若斜率为k的直线l与椭圆C相切，过焦点F1，F2分别作F1M⊥l，F2M⊥l，垂足分别为M，N，求（|F1M|+|F2N|）•|MN|的最大值．
6．已知数列{an}，满足a1=b1=1，an+1=bn+n，${b_{n+1}}={a_n}+{（{-1}）^{n+1}}$．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）求证：$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+…+\frac{1}{{{a_{2n}}}}＜\frac{7}{2}$．
13．设f（x）是R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2，若对任意的x∈[a，a+2]，不等式f（x+a）≥3f（x）恒成立，则实数a的取值范围是[$2+2\sqrt{3}$，+∞）．
3．已知圆C的标准方程为x2+（y-1）2=5，直线l：x=y+m（m∈R）交圆C于点A，B，点O为坐标原点．
（1）当m=-1时，求△OAB的面积；
（2）是否存在正实数m，使得△OAB为锐角三角形，若存在，试求出m的取值范围，若不存在，请说明理由．
10．已知a为实常数，函数f（x）=lnx-ax+1．
（1）若f（x）在（1，+∞）是减函数，求实数a的取值范围；
（2）当0＜a＜1时函数f（x）有两个不同的零点x1，x2（x1＜x2），求证：$\frac{1}{e}$＜x1＜1且x1+x2＞2．（注：e为自然对数的底数）；
（3）证明$\frac{ln2}{3}$+$\frac{ln3}{4}$+$\frac{ln4}{5}$+…+$\frac{lnn}{n+1}$＜$\frac{{n}^{2}-n}{4}$（n∈N*，n≥2）
7．如果满足∠A=60°，BC=6，AB=k的锐角△ABC有且只有一个，那么实数k的取值范围是$（2\sqrt{3}，4\sqrt{3}）$．
8．在锐角△ABC中，A=60°．
（1）求　sinA+sinB+sinC的取值范围；
（2）求　sinAsinBsinC的取值范围．

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