Question

（2013•湖北）已知等比数列{a_n}满足：|a₂-a₃|=10，a₁a₂a₃=125．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）是否存在正整数m，使得

1

a1

+

1

a2

+…+

1

am

≥1？若存在，求m的最小值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（I）设等比数列{a_n}的公比为q，结合等比数列的通项公式表示已知条件，解方程可求a₁，q，进而可求通项公式
（Ⅱ）结合（I）可知{

1

an

}是等比数列，结合等比数列的求和公式可求

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

，即可判断

解答：解：（Ⅰ）设等比数列{a_n}的公比为q，则由已知可得

a 3 1 q3=125 |a1q-a1q2|=10

解得

a1= 5 3 q=3

或

a1=-5 q=-1.

故an=

5

3

•3n-1，或an=-5•(-1)n-1．
（Ⅱ）若an=

5

3

•3n-1，则

1

an

=

3

5

•(

1

3

)n-1，
故{

1

an

}是首项为

3

5

，公比为

1

3

的等比数列，
从而

m

n=1

1

an

3 5 [1-( 1 3 )m]

1- 1 3

=

9

10

•[1-(

1

3

)m]＜

9

10

＜1．
若an=(-5)•(-1)n-1，则

1

an

=-

1

5

(-1)n-1，故{

1

an

}是首项为-

1

5

，公比为-1的等比数列，
从而

m

n=1

1

an

=

- 1 5 ，m=2k-1(k∈N+) 0，m=2k(k∈N+).

故

m

n=1

1

an

＜1．
综上，对任何正整数m，总有

m

n=1

1

an

＜1．
故不存在正整数m，使得

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

≥1成立．

点评：本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的综合应用，还考查了一定的逻辑推理与运算的能力