题目内容
【题目】如图在三棱柱
中，
为
边的中点，
.
（1）证明：
平面
；
（2）若
，
为
中点且
，
，
，求平面
与平面
所成二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
.
【解析】
（1）利用三角形中位线的性质得出
，利用线面平行的判定定理可证得
平面
；
（2）证明出
平面
，由此可得出
、
、
两两垂直，然后以点
为坐标原点，
、
、
分别为
、
、
轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面
与平面所成二面角的余弦值.
（1）在三棱柱
中，侧面
为平行四边形，
由
，可知
为
的中点，又因为
为
边的中点，所以，
平面，
平面，所以平面；
（2）因为
，
，
，所以
，所以
，
取
中点，则
，
，
因为
，
，所以
，
又
，所以满足
，
，
，所以平面，即、、两两相互垂直，
以点为坐标原点，、、分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系（如图示），
所以
、
、
、
，
，
所以
，
，
设平面
的法向量为
，
则有
，即
，取
，则
，
，所以
，
因为平面，所以平面的法向量可以取为
，
，
所以平面与平面所成的二面角的余弦值为.
【题目】百年大计，教育为本.某校积极响应教育部号召，不断加大拔尖人才的培养力度，为清华、北大等排名前十的名校输送更多的人才.该校成立特长班进行专项培训.据统计有如下表格.（其中
表示通过自主招生获得降分资格的学生人数，
表示被清华、北大等名校录取的学生人数）
年份（届） | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
| 41 | 49 | 55 | 57 | 63 |
| 82 | 96 | 108 | 106 | 123 |
（1）通过画散点图发现与之间具有线性相关关系，求关于的线性回归方程；（保留两位有效数字）
（2）若已知该校2019年通过自主招生获得降分资格的学生人数为61人，预测2019年高考该校考人名校的人数；
（3）若从2014年和2018年考人名校的学生中采用分层抽样的方式抽取出5个人回校宣传，在选取的5个人中再选取2人进行演讲，求进行演讲的两人是2018年毕业的人数的分布列和期望.
参考公式：
，
参考数据：
，
，
，
