Question

在△ABC中，，AC=3，sinC=2sinA．
（1）求△ABC的面积S；
（2）求的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用正弦定理列出关系式，将已知AB，AC，以及sinC=2sinA代入求出BC的长，再利用余弦定理表示出cosA，将三边长代入求出cosA的值，进而确定出sinA的值，利用三角形的面积公式即可求出S；
（2）利用二倍角的正弦、余弦函数公式求出sin2A与cos2A的值，所求式子利用两角和与差的余弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值．
解答：解：（1）∵AB=2，AC=3，sinC=2sinA，
∴由正弦定理=得：BC==，
∴由余弦定理得：cosA==，
∵A为三角形的内角，∴sinA=，
则S=AB•AC•sinA=×2×3×=3；
（2）由（1）得：sin2A=2sinAcosA=，cos2A=cos²A-sin²A=，
则cos（2A+）=（cos2A-sin2A）=-．
点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及二倍角的正弦、余弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．