Question

已知椭圆：，右焦点，点在椭圆上.

（I）求椭圆的标准方程；   

(II) 已知直线与椭圆交于两点，为椭圆上异于的动点.

（i）若直线的斜率都存在，证明：;

(ii) 若，直线分别与直线相交于点，直线与椭圆相交

于点（异于点）， 求证：,,三点共线.

Answer 1

解：（Ⅰ）依题意，椭圆的焦点为，则，

解得，所以.     

故椭圆的标准方程为.   ……………5分

（Ⅱ）(i)证明：设，则

两式作差得.

因为直线的斜率都存在，所以.

所以 ，即.

所以，当的斜率都存在时， .   ……………9分

(ii) 证明：时， .

设的斜率为，则的斜率为，

直线，_，

直线, ，

所以直线，直线，

联立，可得交点.        

因为，

所以点在椭圆上.  

即直线与直线的交点在椭圆上，即，，三点共线.   ……………14分