Question

设数列{a_n}是公差为d的等差数列，a₃+a₅=2，S₂₀=150，又bn=2an-2an+1(n∈N*)
（1）求a₁，d；
（2）求证{b_n}是等比数列，并求b_n的通项公式；
（3）设k为某自然数，且满足

lim

n→∞

(bkbk+1+bk+1bk+2+…+bnbn+1)=

1

96

，求k的值．

Answer 1

分析：（1）由等差数列的通项公式及求和公式可得

a1+2d+a1+4d=2 20a1+ 20×19d 2 =150

，解方程可求
（2）要证数列{b_n}是以

1

2

为公比的等比数列，只要证明

bn

bn-1

=q≠0即可
（3）由（2）b_kb_k+1可得=

1

2k-1•2k

=

2

4k

，代入可求极限，进而可求k

解答：解：（1）由等差数列的通项公式及求和公式可得

a1+2d+a1+4d=2 20a1+ 20×19d 2 =150

∴d=1，a₁=-2
（2）∵bn=2an-2an+1=2^1-n=(

1

2

)n-1
∴

bn

bn-1

=

1

2

∴数列{b_n}是以

1

2

为公比的等比数列，bn=

1

2n-1

（3）∵b_kb_k+1=

1

2k-1•2k

=

2

4k

∴

lim

n→∞

(bkbk+1+bk+1bk+2+…+bnbn+1)=

lim

n→∞

(

2

4k

+

2

4k+1

+…+

2

4n

)
=

2

3×4k-1

=

1

96

∴k=4

点评：本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，等比数列的证明及通项公式的求解，等比数列和的极限的求解，属于综合性试题