题目内容
5．数列{an}满足a1=1，3an+1+an-8=0，求数列{an}的通项公式．分析 把已知数列递推式变形，可得$\frac{{a}_{n+1}-2}{{a}_{n}-2}=-\frac{1}{3}$，即数列{an-2}构成以-1为首项，以$-\frac{1}{3}$为公比的等比数列，由此求出等比数列的通项公式后得答案．
解答 解：由3an+1+an-8=0，得${a}_{n+1}=-\frac{1}{3}{a}_{n}+\frac{8}{3}$，
即${a}_{n+1}-2=-\frac{1}{3}（{a}_{n}-2）$，
∵a1-2=-1≠0，
∴$\frac{{a}_{n+1}-2}{{a}_{n}-2}=-\frac{1}{3}$，
则数列{an-2}构成以-1为首项，以$-\frac{1}{3}$为公比的等比数列，
∴${a}_{n}-2=-1×（-\frac{1}{3}）^{n-1}$，
则${a}_{n}=2-（-\frac{1}{3}）^{n-1}$．
点评 本题考查数列递推式，训练了利用构造等比数列方法求数列的通项公式，是中档题．
练习册系列答案
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