Question

8．定义在R上的奇函数f（x）满足：当x＞0时，f（x）=2^x-1，则满足$f（x）＜\frac{3}{2}x$的实数x的取值范围为（-∞，-2）∪（0，2）．

Answer 1

分析 先求出x＜0时函数f（x）的解析式，画出f（x）以及y=$\frac{3}{2}$x的图象，数形结合求得满足$f（x）＜\frac{3}{2}x$的实数x的取值范围．

解答 解：定义在R上的奇函数f（x）满足：当x＞0时，f（x）=2^x-1，
设x＜0，则-x＞0，∴f（-x）=2^-x-1=-f（x），∴f（x）=1-2^-x，
令f（x）=$\frac{3}{2}$x，即$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{{2}^{x}-1=\frac{3}{2}x}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{1{-2}^{-x}=\frac{3}{2}x}\end{array}\right.$，或x=0，
求得x=2，x=0，x=-2，如图所示：
∴满足$f（x）＜\frac{3}{2}x$的实数x的取值范围为 （-∞，-2）∪（0，2），
故答案为：（-∞，-2）∪（0，2）．

点评 本题主要考查函数的奇偶性的应用，函数的图象，属于中档题．