Question

如图，ABCD是直角梯形，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1，,

(1)求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值；

(2)求SC与平面ABCD所成的角的余弦值.

Answer 1

解：(1)因为AD、AB、AS是三条两两互相垂直的线段，故以A为原点，以、、的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立坐标系，则A(0,0,0)、D(,0,0)、C(1,1,0)、S(0,0,1), =(,0,0)是平面SAB的法向量.设面SCD的法向量n=(1，λ，μ),则

n=(1，λ，μ)(,1,0)=+λ=0,∴λ=-.

n=(1,λ,μ)(-,0,1)=-+μ=0,

∴.

∴n=(1,-,).

如以θ表示欲求二面角的值，则cosθ=cos〈,n〉,

n=(,0,0)(1,-,)=,||=,

,

∴,.

∴.

∴面SCD与面SBA所成二面角的正切值为.

(2)∵是平面ABCD的法向量，先求与之间的夹角φ.

∵,

∴,

,

,

∴.

∴所求余弦值为.

启示：对于(2)也可借助坐标计算线面角.像棱没有给出的二面角大小计算问题，用向量法解答十分方便.