题目内容

已知函数 $数学公式$ ．
（1）判断函数y=log_ax的增减性；
（2）若命题 $数学公式$ 为真命题，求实数x的取值范围．

解：（1）∵a∈{a|120＜12a-a²}，∴a²-12a+20＜0，即2＜a＜10，∴函数y=log_ax是增函数．
（2） $\text{[math]}$ ＜1- $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ＜1，必有 x＞0．
当0＜x＜ $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ＜0，不等式化为 $\text{[math]}$ ＜1，
∴-log_a2x＜1，故log_a2x＞1，∴x＞ $\text{[math]}$ ，此时， $\text{[math]}$ ＜x＜ $\text{[math]}$ ．
当 $\text{[math]}$ ≤x＜1 时， $\text{[math]}$ ＜0＜ $\text{[math]}$ ，
不等式化为 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ＜1，∴log_a2＜1，这显然成立，此时 $\text{[math]}$ ≤x＜1．
当x≥1时，0≤ $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ，不等式化为 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ＜1，∴log_a2x＜1，
故x＜ $\text{[math]}$ ，此时，1≤x＜ $\text{[math]}$ ．
综上所述知，使命题p为真命题的x的取值范围是 {x| $\text{[math]}$ ＜x＜ $\text{[math]}$ }．
分析：（1）由题意可得a²-12a+20＜0，即2＜a＜10，可得函数y=log_ax是增函数．
（2）不等式即 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ＜1，分0＜x＜ $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ≤x＜1 以及x≥1三种情况，去掉绝对值，
分别求出解集，取并集即得所求．
点评：本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，对数函数的定义域，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．