Question

【题目】已知函数（且）.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若，讨论函数在区间上的最值.

Answer 1

【答案】(1)见解析；(2)见解析.

【解析】

（1）求出，分三种情况讨论的范围，在定义域内，分别由求出的范围，可得增区间；由求出的范围， 可得减区间；（2）由（1）得，当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，分四种情况讨论，分别利用导数判断函数在上的单调性，利用单调性求出极值，与的值比较大小，进而可得结果.

（1）函数的定义域是.

.

当时，令，得；令，得，

所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减；

当时，令，得；令，得，

所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.

（2）由（1）得，当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.

①当，即时，函数在区间上单调递减，所以函数在上的最大值为，最小值为；

②当，即时，函数在区间上单调递增，所以函数在上的最大值为，最小值为；

③当，即时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以函数在上的最小值为.

最大值为与中的较大者.下面比较与的大小：

因为 ，

令，得，化简得，

解得 .因为，且，

所以.

所以当时，，函数在上的最大值为；

当时，，函数在上的最大值为；

当时，，函数在上的最大值为.

综上，当时，函数在上的最大值为，最小值为；

当时，函数在上的最大值为；最小值为；

当时，函数在上的最大值为，最小值为；

当时，函数在上的最大值为，最小值为.