Question

18．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的离心率为$\frac{3}{5}$，且短轴长为8
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设F₁、F₂分别为椭圆C的左、右焦点，过F₂的直线l与椭圆C交于不同两点M，N，若△F₁MN的内切圆周长为π，M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），求|y₁-y₂|的值．

Answer 1

分析 （1）由椭圆的离心率及b=4，即可求得椭圆C的标准方程；
（2）由△F₁MN的内切圆周长为π，求得内切圆的半径，根据三角形的面积公式$\frac{1}{2}$（|MN|+|MF₁|+|NF₁|）r=$\frac{1}{2}$|F₁F₂|•|y₁-y₂|，即可求得|y₁-y₂|的值．

解答 解：（1）由椭圆的离心率2b=8，b=4，e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{3}{5}$，则a=5，
∴椭圆C的标准方程$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{16}=1$；
（2）由（1）可知：F₂（3，0），F₁（-3，0），则|F₁F₂|=6，
△F₁MN的内切圆半径为r，由2πr=π，则r=$\frac{1}{2}$，
△F₁MN的面积S=$\frac{1}{2}$（|MN|+|MF₁|+|NF₁|）×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$×4a×$\frac{1}{2}$=5，
由△F₁MN的面积S=$\frac{1}{2}$|F₁F₂|•|y₁-y₂|=$\frac{1}{2}$×6×|y₁-y₂|=3|y₁-y₂|，则|y₁-y₂|=$\frac{5}{3}$，
则|y₁-y₂|的值$\frac{5}{3}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程，三角形的面积公式，考查计算能力，属于中档题．