Question

19．体育课上，李老师对初三（1）班50名学生进行跳绳测试．现测得他们的成绩（单位：个）全部介于20到70之间，将这些成绩数据进行分组（第一组：（20，30]，第二组：（30，40]，…，第五组：（60，70]），并绘制成如图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）求成绩在第四组的人数和这50名同学跳绳成绩的中位数；
（Ⅱ）从成绩在第一组和第五组的同学中随机抽出3名同学进行搭档训练，设取自第一组的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．

Answer 1

分析 （I）由频率分布直方图先求出第四组的频率，由此能求出第四组的人数；利用频率分布直方图的性质能求出中位数．
（II）先求出第一组有2人，第五组有4人，成绩在第一组和第五组的同学中随机抽出3名同学进行搭档训练，设取自第一组的人数为ξ，则ξ=0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列及E（ξ）．

解答 解：（I）由频率分布直方图得第四组的频率为：
1-（0.004+0.016+0.04+0.008）×10=0.32，
∴第四组的人数为0.32×50=16人，
∵前2组的频率为（0.004+0.016）×10=0.2，
第三组的频率为0.04×10=0.4，
设中位数为x，则x=40+$\frac{0.5-0.2}{0.4}×10$=47.5，
∴中位数为47.5．
（II）据题意，第一组有0.004×10×50=2人，第五组有0.008×10×50=4人，
成绩在第一组和第五组的同学中随机抽出3名同学进行搭档训练，设取自第一组的人数为ξ，
则ξ=0，1，2，
P（ξ=0）=$\frac{{C}_{4}^{3}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{1}{5}$，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{4}^{2}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{3}{5}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{2}^{2}{C}_{4}^{1}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{1}{5}$，
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2
P	$\frac{1}{5}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{1}{5}$

∴E（ξ）=$0×\frac{1}{5}+1×\frac{3}{5}+2×\frac{1}{5}$=1．

点评 本题考查频率分布直方图的应用，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．