Question

（满分14分）已知圆O：，直线.

（1）若直线l与圆O交于不同的两点A，B，当∠AOB=时，求k的值.

（2）若，P是直线l上的动点，过P作圆O的两条切线PC、PD，切点为C、D，探究：直线CD是否过定点；

（3）若EF、GH为圆O：的两条相互垂直的弦，垂足为M（1，），求四边形EGFH的面积的最大值。

 

Answer 1

（1）；（2）直线CD过定点；（3）最大值为.

【解析】

试题分析：（1）依题意圆O的半径=，点O到的距离，即 =·，所以；（2）由题意O、P、C、D四点共圆且在以OP为直径的圆上，设，则得，即，而C、D在圆O：上，所以CD方程为，整理得，由得，故直线CD过定点 ；（3）设圆心到EF、GH的距离分别为，则 ， 而， ，，

故， 当且仅当 即 时，取“=”.

试题解析：（1）点O到的距离 2（分）

∴ =· （4分）

（2）由题意可知：O、P、C、D四点共圆且在以OP为直径的圆上，设

其方程为：

即：

又C、D在圆O：上

∴ 即 （7分）

由 得

∴直线CD过定点 （9分）

（3）设圆心O到直线EF、GH的距离分别为.

则 （11分）

∴

∴

当且仅当 即 时，取“=”

∴四边形EGFH的面积的最大值为 （14分）

考点：直线与圆的位置关系综合问题