Question

已知数列{a_n}是等差数列，数列{b_n}是正项等比数列，且满足a₁=1，b₁=4，a₂+b₂=10，a₂₆-b₃=10．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）记c_n=a_nb_n，求数列{C_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的通项公式,等比数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得

1+d+4q=10 1+25d-4q2=10 q＞0

，由此能求出a_n=1+n-1=n，bn=4•2n-1=2n+1．
（2）由c_n=a_nb_n=n•2ⁿ⁺¹．利用错位相减法能求出数列{c_n}的前n项和S_n．

解答： 解：（1）∵数列{a_n}是等差数列，数列{b_n}是正项等比数列，
且满足a₁=1，b₁=4，a₂+b₂=10，a₂₆-b₃=10．
∴

1+d+4q=10 1+25d-4q2=10 q＞0

，
解得d=1，q=2，
∴a_n=1+n-1=n，
bn=4•2n-1=2n+1．
（2）∵c_n=a_nb_n=n•2ⁿ⁺¹．
∴S_n=1•2²+2•2³+3•2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹，①
2S_n=1•2³+2•2⁴+3•2⁵+…+n•2ⁿ⁺²，②
①-②，得：-S_n=2²+2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹-n•2ⁿ⁺²
=

4(1-2n)

1-2

-n•2ⁿ⁺²
=（1-n）•2ⁿ⁺²-4，
∴Sn=(n-1)•2n+2+4．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．