Question

14．已知函数f（x）=2^x，若x₁，x₂是R上的任意两个数，且x₁≠x₂，则$\frac{{{2^{x_1}}+{2^{x_2}}}}{2}＞{2^{\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}}}$，请对比函数f（x）=2^x得到函数g（x）=lgx一个类似的结论：x₁，x₂是R上的任意两个数，且x₁≠x₂，则$\frac{{2}^{{x}_{1}}+{2}^{{x}_{2}}}{2}＜{2}^{\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}}$．

Answer 1

分析 由题意函数f（x）=2^x，是一个凹函数，函数g（x）=lgx，是一个凸函数，即可得出结论．

解答 解：由题意函数f（x）=2^x，是一个凹函数，函数g（x）=lgx，是一个凸函数，
∴x₁，x₂是R上的任意两个数，且x₁≠x₂，则$\frac{{2}^{{x}_{1}}+{2}^{{x}_{2}}}{2}＜{2}^{\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}}$．
故答案为：x₁，x₂是R上的任意两个数，且x₁≠x₂，则$\frac{{2}^{{x}_{1}}+{2}^{{x}_{2}}}{2}＜{2}^{\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}}$．

点评 本题考查函数的性质，考查类比推理，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．