Question

4．如图，在杨辉三角中，若某行存在相邻的三个数成等差数列，则称此行为“A-P行”．从上往下数，第1个A-P行的行序号是7，第k个A-P行的行序号是（k+2）²-2．

Answer 1

分析 由题意可得，第n行中存在相邻三个数成等差数列，则有2C_n^r=C_n^r-1+C_n^r+1，化简，令n-r=t，去分母整理可得（t-r）²=n+2，即可得出结论．

解答 解：依题意可得，第n行中存在相邻三个数成等差数列，则有2C_n^r=C_n^r-1+C_n^r+1，
化简可得$\frac{2}{r（n-r）}$=$\frac{1}{（n-r+1）（n-r）}$+$\frac{1}{r（r+1）}$．
令n-r=t，去分母整理可得（t-r）²=n+2．
因为n≥3，所以n+2≥5，
则当t-r=3时得到第一个A-P行，n=7，
第k个A-P行，t-r=k+2，此时n=（t-r）²-2=（k+2）²-2．
故答案为：7；（k+2）²-2．

点评 本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生分析解决问题的能力，正确转化是关键．