Question

【题目】已知椭圆的两个焦点分别为点是椭圆上任意一点，且的最大值为4，椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数．

（1）求椭圆方程；

（2）设点，过点作直线与圆相切且分别交椭圆于,求直线的斜率．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）利用椭圆的离心率，以及基本不等式和椭圆的定义，求出得值，即可得到椭圆的标准方程；

（1）设为，，由直线与圆相切，得到，直线的方程与椭圆的方程联立，求得，同理求得，再结合斜率公式，即可求解.

（1）由题意，椭圆的定义，可得，

则，解得，

由双曲线离心率为2，可得椭圆离心率为，即，即，

所以，又由，

所以椭圆方程为.

（2）显然直线的斜率存在，设为，，

由于直线与圆相切，则，

直线，

联立方程组得，

所以，得，

同理，当与椭圆相交时，可得，

所以，

而，

所以直线的斜率