Question

【题目】已知函数.（其中常数，是自然对数的底数.）

（1）讨论函数的单调性；

（2）证明：对任意的，当时，.

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）证明见解析

【解析】

（1）求导得，再分参数当和两种情况具体讨论，结合导数正负与原函数关系判断即可；

（2）解法不唯一，由原不等式可等价转化为，采用构造函数法，设，则，当时，，可设，求导判断可知，进而得出当时，；当时，；当时，，

∴，从而得证；还可采用合并参数形式得，令，讨论可判断，当时，显然成立；当且时，，要证对任意的，成立，只需证，可化为，令，通过讨论确定函数极值点进而得证；其余证法详见解析

（1）.

①当时，，函数在R上单调递增；

②当时，由解得，由解得.

故在上单调递增，在上单调递减.

综上所述，当时，在R上单调递增；

当时，在上单调递增，在上单调递减.

（2）证法一：原不等式等价于

令，则.

当时，，

令，则当时，，

∴当时，单调递增，即，

∴当时，；当时，；当时，，

∴

即，故.

证法二：原不等式等价于.

令，则.

当时，；当时，.

∴，即，当且仅当时等号成立.

当时，显然成立；

当且时，.

欲证对任意的，成立，只需证

思路1：∵，∴不等式可化为，

令，则，

易证当时，，

∴当时，，当时，，

∴函数在上单调递减，在上单调递增，

∴

∴，即，

从而，对任意的，当时，.

思路2：令，则.

，或

∴在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.

∵，

∴，即.

从而，对任意的，当时，.

证法三：原不等式等价于.

令，则.

令，则，其中.

①当时，，在上单调递增.

注意到，故当时，；当时，

∴在上单调递减，在上单调递增.

∴，即.

②当时，.

当时，，单调递减；当时，，单调递增.

②（i）：若，则.

∵

∴当时，；当时，.

与①同，不等式成立.

②（ii）：若，则，

∵

∴，使得，且当时，；当时，；当时，.

∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.

∵

∴此时，，即.

综上所述，结论得证