Question

2．设a＞b＞0，证明：$\frac{a-b}{a}$＜ln$\frac{a}{b}$＜$\frac{a-b}{b}$．

Answer 1

分析 a＞b＞0，可得$\frac{a}{b}＞1$，令$\frac{a}{b}$=x＞1，证明：$\frac{a-b}{a}$＜ln$\frac{a}{b}$＜$\frac{a-b}{b}$．即证明：1-$\frac{1}{x}$＜lnx＜x-1．分别构造函数：f（x）=lnx-x+1，x∈（1，+∞）．g（x）=lnx+$\frac{1}{x}$-1，x∈（1，+∞）．利用导数研究函数的单调性即可证明．

解答 证明：∵a＞b＞0，∴$\frac{a}{b}＞1$，
令$\frac{a}{b}$=x＞1，
则证明：$\frac{a-b}{a}$＜ln$\frac{a}{b}$＜$\frac{a-b}{b}$．即证明：1-$\frac{1}{x}$＜lnx＜x-1．
先证明右边：令f（x）=lnx-x+1，x∈（1，+∞）．
f′（x）=$\frac{1}{x}$-1=$\frac{1-x}{x}$＜0，
∴函数f（x）在x∈（1，+∞）单调递减，
∴f（x）＜f（1）=0，
∴lnx＜x-1成立．
再证明左边：令g（x）=lnx+$\frac{1}{x}$-1，x∈（1，+∞）．
g′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$＞0，
∴函数g（x）在x∈（1，+∞）单调递增，
∴f（x）＞f（1）=0，
∴lnx＞1-$\frac{1}{x}$成立．
综上可得：1-$\frac{1}{x}$＜lnx＜x-1．
即$\frac{a-b}{a}$＜ln$\frac{a}{b}$＜$\frac{a-b}{b}$．

点评 本题考查了构造函数利用导数研究函数的单调性证明不等式的方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．