Question

13．（1）判断并证明函数f（x）=x+$\frac{4}{x}$在区间（2，+∞）上的单调性；
（2）试写出f（x）=x+$\frac{a}{x}$（a＞0）在（0，+∞）上的单调区间（不用证明）；
（3）根据（2）的结论，求f（x）=x+$\frac{16}{x}$在区间[1，8]上的最大值与最小值．

Answer 1

分析 （1）函数f（x）=x+$\frac{4}{x}$在区间（2，+∞）上的单调递增；运用单调性的定义即可得证；
（2）求出导数，令导数大于0，可得增区间，由导数小于0，可得减区间；
（3）由（2）可得f（x）=x+$\frac{16}{x}$在区间[1，4]上递减，在[4，8]上递增，计算即可得到最值．

解答 解：（1）函数f（x）=x+$\frac{4}{x}$在区间（2，+∞）上的单调递增；
证明：设2＜m＜n，则f（m）-f（n）=（m+$\frac{4}{m}$）-（n+$\frac{4}{n}$）
=（m-n）（1-$\frac{4}{mn}$），
由2＜m＜n，可得m-n＜0，mn＞4，即为1-$\frac{4}{mn}$＞0，
则f（m）-f（n）＜0，
即有f（x）在区间（2，+∞）上为增函数；
（2）f（x）=x+$\frac{a}{x}$（a＞0）的导数为f′（x）=1-$\frac{a}{{x}^{2}}$，
当x＞$\sqrt{a}$时，f′（x）＞0，f（x）递增；
当0＜x＜$\sqrt{a}$时，f′（x）＜0，f（x）递减．
则有f（x）的增区间为（$\sqrt{a}$，+∞），减区间为（0，$\sqrt{a}$）；
（3）f（x）=x+$\frac{16}{x}$在区间[1，4]上递减，在[4，8]上递增，
即有x=4处取得最小值8；x=1处取得最大值17．

点评 本题考查函数的单调性的证明和判断，以及单调性的运用：求最值，属于中档题．