Question

 

 

Answer 1

【答案】

 

（1）a＞0，x＞0时，f（x）＞－x

（2）f (x) 的单调递增区间为（，+∞）

（3）证明略

【解析】（1）设g (x) = f (x) + x，则g′ (x) = f ′(x) + 1 =．

∵ a＞0，x＞0，∴ g′ (x) =＞0，

于是 g（x）在（0，+∞）上单调递增，

∴ g（x）＞g（0）= f (0) + 0 = 0，f (x) + x＞0在x＞0时成立，

即a＞0，x＞0时，f（x）＞－x．   …………………… 4分

（2）∵ f (x) = ax－（a + 1）ln（x + 1），∴ f ′(x) =．

① a = 0时，f ′(x) =, ∴ f (x) 在（－1，+∞）上单调递减, 无单调增区间．

② a＞0时，由 f ′(x)＞0得，∴ 单增区间为（，+∞）．

③ a＜0时，由 f ′(x)＞0得．

而 x＞－1，∴ 当，即－1≤a＜0时，无单增区间；

当，即a＜－1时，－1＜x＜，单增区间为（－1，）．

综上所述：当a＜－1时，f (x) 的单调递增区间为（－1，）；当－1≤a≤0时，

f (x) 无单调递增区间；a＞0时，f (x) 的单调递增区间为（，+∞）．…………… 8分

（3）证明：1）当n = 2时，左边－右边=，

∴ 左边＜右边，不等式成立．     …………………… 9分

2）假设n = k时，不等式成立，即 成立，

那么当n = k + 1时，

=．… 11分

下面证明：．

思路1   利用第（1）问的结论，得 ax－ln（x + 1）a+1＞－x，

所以（a + 1）ln（x + 1）＜（a + 1）x，即 ln（x + 1）＜x，

因而 0＜ln（k + 1）＜k，所以．

以上表明，当n = k + 1时，不等式成立．

根据1）和2），可知，原不等式对任意正整数 n都成立．…………………… 14分

思路2   构造函数h (x) = ln x－x2（x≥3），则，

∴ h (x) 在 [ 3，+∞上是减函数，则 h (x)max = h (3) = ln 3－＜ln e2－＜0，

∴ 当x≥3时，ln x＜x2，即 ．

∵ k + 1∈[ 3，+∞，∴ ．