Question

【题目】如图，抛物线的焦点为，抛物线上两点，在抛物线的准线上的射影分别为.

（1）如图，若点在线段上，过作的平行线与抛物线准线交于，证明：是的中点；

（2）如图，若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2).

【解析】

(1) 设直线,与抛物线方程联立可得，∴.

于是，直线，设直线与交于点，令.

易得

（2）设与轴的焦点分别为，则，∵的面积是的面积的两倍，∴，所以点. 可设直线，与抛物线方程联立可得∴，从而可得

,即所求轨迹方程.

（1）由题，，准线.

设直线，，.

联立，∴.

于是，直线，

设直线与交于点，令.

得：

.

故直线经过的中点.

（2）设与轴的焦点分别为，

则，

∵的面积是的面积的两倍，

∴，所以点.

可设直线，，中点，

，

∴.

于是，

,

即中点的轨迹方程为.