Question

【题目】设椭圆C：的左、右焦点分别为、，上顶点为A，在x轴负半轴上有一点B，满足为线段的中点，且AB⊥。

（I）求椭圆C的离心率；

（II）若过A、B、三点的圆与直线：相切，求椭圆C的方程；

（III）在（I）的条件下，过右焦点作斜率为k的直线与椭圆C交于M，N两点，在x轴上是否存在点P(m，0)使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形？如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，说明理由。

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）。

【解析】分析：（Ⅰ）由题意可得在在直角三角形中有，即，整理可得．（Ⅱ）由题意可得过A、B、F2三点的圆的圆心为F1(-c，0)，半径r=

=2c，根据直线与圆相切可得，解得c=1，从而，，可得椭圆的方程．（Ⅲ）由条件可设直线MN的方程为，与椭圆方程联立消元后得到一元二次方程，结合根据系数的关系可得MN的中点Q的坐标为，若以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，则，由此得到，整理得，最后可求得．

详解：（I）∵AB⊥AF2，为的中点，

∴

∵，

∴，

∴，

即椭圆C的离心率为．

（II）过A、B、F2三点的圆的圆心为F1(-c，0)，半径r==2c．

∵直线：相切，

∴，

解得c=1．

又，

∴，

∴．

∴椭圆C的方程为．

（III）由(I)知，F2(1，0)，直线MN的方程为，

由 消去y整理得

∵直线与椭圆C交于M，N两点，

∴．

设M(，)，N(，)，

则

∴，

∴MN的中点Q的坐标为，

若以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，

则,

∴

整理得，

∵，

∴，

∴．

∴．

故存在满足题意的点P，且m的取值范围是(．