Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，前n项积为T_n．
（1）若2S_n=1-a_n，n∈N⁺，求a_n．
（2）若2T_n=1-a_n，a_n≠0，证明{}为等差数列，并求a_n．
（3）在（2）的条件下，令M_n=T₁•T₂+T₂•T₃+…+T_n•T_n+1，求证：．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用数列递推式，再写一式，两式相减，可求数列通项；
（2）由2T_n=1-a_n，可得-=2，从而可证{}为等差数列，即可求a_n；
（3）利用裂项法求数列的和，即可证得结论．
解答：（1）解：∵2S_n=1-a_n，∴n≥2时，2S_n-1=1-a_n-1，
两式相减可得a_n=a_n-1，
∵2S₁=1-a₁，∴a₁=
∴；
（2）证明：∵2T_n=1-a_n，∴2T_n=1-，
∴-=2
∴{}为等差数列；
∵T₁=a₁=
∴=2n+1
∴T_n=，；
（3）证明：∵T_n=，∴T_nT_n+1==（-）
∴M_n=T₁•T₂+T₂•T₃+…+T_n•T_n+1=[++…+（-）]=
∴．
点评：本题考查数列的通项与求和，考查等差数列与等比数列的证明，确定数列的通项，正确运用求和方法是关键．