Question

已知函数.（为自然对数的底）
（Ⅰ）求的最小值；
（Ⅱ）是否存在常数使得对于任意的正数恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

Answer 1

（Ⅰ）解：由，得.
令，得，所以.                                 2分
当时，，所以在内是减函数；          
当时，，所以在内是增函数.               2分
故函数在处取得最小值.                          2分
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，当时，有，
即，当且仅当时，等号成立.
即两曲线，有唯一公共点.                       3分
若存在,，则直线是曲线和的公切线，切点为.      3分
由，得直线的斜率为.
又直线过点，所以，得.
故存在，，使得对于任意正数恒成立.   3分

本试题主要考查了运用导数来研究函数的最值，和解决不等式恒成立问题。首先求导，然后判定单调性，并求解得到极值，最终得到最值。另外，对于不等式的恒成立问题，我们常常借助于第一问题的结论来帮助我们找到突破口。