Question

如图所示，港口A北偏东30°方向的点C处有一观测站，港口正东方向的B处有一轮船，测得BC为31海里．该轮船从B处沿正西方向航行20海里后到达D处，测得CD为21海里．问此时轮船离港口A还有多少海里？

Answer 1

分析：在△BDC中，先由余弦定理可得，可求cos∠CDB，进而可求sin∠CDB，由三角形的内角和定理可得sin∠ACD=sin(∠CDB-

π

3

)，再在△ACD中，由正弦定理知，

AD

sin∠ACD

=

CD

sin∠A

，可求AD

解答：解：由题意可得，BC=31，BD=20，CD=21，A=60°
在△BCD中，由余弦定理得cos∠BDC=

BD2+CD2-BC2

2×BD×CD

=

202+212-312

2×21×20

=-

1

7

，
故sin∠BDC=

1-cos2∠BDC

=

4 3

7

，
从而sin∠ACD=sin（∠BDC-60°）=sin∠BDCcos60°-cos∠BDCsin60°=

4 3

7

×

1

2

-(-

1

7

)×

3

2

=

5 3

14

．
在△ACD中，由正弦定理得   

AD

sin∠ACD

=

CD

sin60°

，
于是AD=

CD×sin∠ACD

sin60°

=15（海里），
即此时轮船距离港口A还有 15海里．

点评：本题主要考查了正弦定理、余弦定理、两角差的正弦公式及三角形的内角和定理在实际中的应用，解决实际的问题的关键是要把题目中所提供的数据转化成数学图形中的长度（角度），然后根据相应的公式来解决问题．