Question

如图所示，一科学考察船从港口O出发，沿北偏东α角的射线OZ方向航行，而在离港口

13

a（a为正常数）海里的北偏东β角的A处有一个供给科考船物资的小岛，其中tanα=

1

3

，cosβ=

2

13

．现指挥部需要紧急征调沿海岸线港口O正东m（m＞

7

3

a）海里的B处的补给船，速往小岛A装运物资供给科考船，该船沿BA方向全速追赶科考船，并在C处相遇．经测算当两船运行的航向与海岸线OB围成的三角形OBC的面积最小时，这种补给最适宜．
（1）求S关于m的函数关系式S（m）；
（2）应征调m为何值处的船只，补给最适宜．

Answer 1

分析：先以O为原点，正北方向为轴建立直角坐标系．
（1）先求出直线OZ的方程，然后根据β的正余弦值和OA的距离求出A的坐标，进而可以得到直线AB的方程，然后再与直线OZ的方程联立求出C点的坐标，根据三角形的面积公式可得到答案．
（2）根据（1）中S（m）的关系式，进行变形整理，然后利用基本不等式求出最小值．

解答：解：以O为原点，正北方向为轴建立直角坐标系，直线OZ的方程为y=3x①，
（1）设A（x₀，y₀），∵cosβ=cosβ=

2

13

，∴sinβ=

3

13

，
则x₀=

13

asinβ=3a，y₀=

13

acosβ=2a，∴A（3a，2a）．
又B（m，0），则直线AB的方程为y=

2a

3a-m

（x-m） ②
由①、②解得，C（

2am

3m-7a

，

6am

3m-7a

），
∴S（m）=S_△OBC=

1

2

|OB||y_c|=

1

2

×m×

6am

3m-7a

=

3am2

3m-7a

（m＞

7

3

a）．
（2）S（m）=

3am2

3m-7a

=a[（m-

7

3

a）+

49a2

9(m- 7 3 a)

+

14

3

a]≥

28a2

3

当且仅当m-

7

3

a=

49a2

9(m- 7 3 a)

，即m=

14

3

a时，等号成立，
故当m=

14

3

a海里时，补给最适宜．

点评：本题考查解三角形的实际应用、三角形的面积公式、基本不等式的应用，解题的关键是函数的建模思想和转化思想．