Question

【题目】数列{an}是等差数列，a1=f（x+1），a2=0，a3=f（x-1），其中f（x）=x2-4x+2．

（1）求通项公式an；

（2）若数列{an}为递增数列，令bn=an+1+an+2+an+3+an+4，求数列{}的前n项和Sn．

Answer 1

【答案】（1）当x=1时，an =2n-4，当x=3时， an=4-2n；；（2）

【解析】

（1）题目给出了一个等差数列的前3项，根据等差中项概念列式a1+a3=2a2，然后把a1和a3代入得到关于x的方程，解方程，求出x后再分别代回a1=f（x+1）求a1，则d也可求，所以通项公式可求．

（2）利用数列是递增数列求出通项公式，化简数列的通项公式，通过裂项消项法求解数列的和即可．

解：（1）数列{an}为等差数列，所以a1+a3=2a2，

即f（x+1）+f（x-1）=0，又f（x）=x2-4x+2，

所以（x+1）2-4（x+1）+2+（x-1）2-4（x-1）+2=0，整理得x2-4x+3=0，解得x=1或x=3．

当x=1时，a1=f（x+1）=f（2）=22-4×2+2=-2，d=a2-a1=0-（-2）=2，

∴an=a1+（n-1）d=-2+2（n-1）=2n-4．

当x=3时，a1=f（x+1）=f（4）=42-4×4+2=2，d=0-2=-2．所以an=4-2n．

综上：当x=1时，an =2n-4；当x=3时， an=4-2n．

（2）数列{an}为递增数列，d＞0，

所以数列{an}的通项公式为an=2n-4．

bn=an+1+an+2+an+3+an+4=8n+4，

==，

数列{}的前n项和Sn==．