Question

【题目】(2015·浙江卷)已知数列{an}满足a1＝且an＋1＝an－ (n∈N*).

(1)证明：1≤≤2(n∈N*)；

(2)设数列{ }的前n项和为Sn，证明： (n∈N*).

Answer 1

【答案】(1)见解析(2)见解析

【解析】试题分析：（Ⅰ）根据已知条件确定数列{an}为递减数列，得到，再由数列递推可得到，从而得到的取值范围。

（Ⅱ）根据已知条件确定关于的表达式，再由（Ⅰ）中的结论得到的取值范围，即可确定的范围。

试题解析： (1)由题意得an＋1－an＝－a≤0，即an＋1≤an，

故an≤.由an＝(1－an－1)an－1得

an＝(1－an－1)(1－an－2)…(1－a1)a1>0.

由0<an≤得＝＝∈(1，2]，

即1≤≤2成立.

(2)由题意得

a＝an－an＋1，所以Sn＝a1－an＋1.①

由－＝和1≤≤2得1≤－≤2，

所以n≤－≤2n，

因此≤an＋1≤ (n∈N*).②

由①②得≤≤ (n∈N*).