Question

10．已知a＞0且a≠1，函数k（x）=log_a（x+1），f（x）=log_a（x+1），g（x）=log_a$\frac{1}{1-x}$，记F（x）=2k（x）+g（x）．
（1）求函数F（x）的定义域D及其零点；
（2）若关于x的方程F（x）-m=0在区间[0，1）内仅有一解，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先根据对数函数的图象和性质确定函数的定义域，再根据对数的运算性质得出方程（x+1）²=1-x，解出方程检验即可；
（1）先分离参数m得到${a^m}=1-x+\frac{4}{1-x}-4$，再根据函数的单调性确定参数m的取值范围．

解答 解：（1）F（x）=2k（x）+g（x）=$2{log_a}（x+1）+{log_a}\frac{1}{1-x}$（a＞0且a≠1），
要使函数式有意义，则$\left\{\begin{array}{l}x+1＞0\\ 1-x＞0\end{array}\right.$，解得-1＜x＜1，
所以函数F（x）的定义域为：D=（-1，1），
令F（x）=0，则$2{log_a}（x+1）+{log_a}\frac{1}{1-x}=0$，------（*）
方程变为：${log_a}{（x+1）^2}={log_a}（1-x）$，即（x+1）²=1-x，
整理得，x²+3x=0，解得x₁=0，x₂=-3，
经检验方程（*）的解为x=0，x=-3不合题意，
所以函数F（x）的零点为0；
（2）原方程可写成：$m=2{log_a}（x+1）+{log_a}\frac{1}{1-x}$（0≤x＜1），
m=${log_a}\frac{{{x^2}+2x+1}}{1-x}={log_a}（1-x+\frac{4}{1-x}-4）$，
即${a^m}=1-x+\frac{4}{1-x}-4$，
设1-x=t∈（0，1]，因为函数$y=t+\frac{4}{t}$在区间（0，1]上是减函数，
所以，当t=1时，此时x=0，y_min=5，因此，a^m≥1，
①当a＞1时，由a^m≥1解得，m≥0，
且y=a^x为增函数，因此，m≥0时，原方程在区间[0，1）内仅有一解；
②当0＜a＜1时，由a^m≥1解得，m≤0，
且y=a^x为减函数，因此，m≤0时，原方程在区间[0，1）内仅有一解．

点评 本题主要考查了对数函数的图象和性质，涉及函数定义域的确定和函数零点的求解，以及运用双勾函数的性质分析函数零点的个数，属于中档题．