Question

(本小题满分16分)

已知函数,.

（Ⅰ）当时,求函数在区间上的最大值；

（Ⅱ）若恒成立,求的取值范围；

（Ⅲ）对任意,总存在惟一的,使得成立, 求的取值范围.

Answer 1

解：（Ⅰ）当,时,,

所以在 递增,所以………………………………………………………4分

（Ⅱ）①当时，，，，恒成立,

在上增函数,故当时，…………………………………………5分

②当时，，，

（i）当即时，在时为正数，所以在区间上为增函数,

故当时，，且此时……………………………………………7分

(ii)当,即时，在时为负数，在间 时为正数,

所以在区间上为减函数，在上为增函数,故当时，，

且此时………………………………………………………………………8分

(iii)当,即 时，在时为负数，所以在区间[1,e]上为减函数，

故当时，………………………………………………………………9分

综上所述，函数的最小值为…………………10分

所以当时,得；当()时,无解；

当 （）时,得不成立. 

综上,所求的取值范围是…………………………………………11分

（Ⅲ）①当时,在单调递增,由,

得………………………………………………………………………………………12分

  ②当时，在先减后增,由,

得, 设

,,

所以单调递增且，所以恒成立得………………………14分

③当时,在递增，在递减，

在递增,所以由,

得,设,

则,所以递增，且,

所以恒成立，无解.

 ④当时，在递增，在递减，在递增,

所以由得无解.

综上,所求的取值范围是

……16分