Question

（12分）如图，四棱锥中，底面为平行四边形，，，⊥底面.

(1)证明：平面平面；

 (2)若，求与平面所成角的正弦值.

 

Answer 1

【答案】

（1）见解析； (2) 。

【解析】本题考查平面与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意向量法的合理运用．

（I）由AB²=AD²+BD²，知AD⊥BD，由PD⊥底面ABCD，知PD⊥AD，由PD∩BD=D，知AD⊥平面PBD．由此能够证明平面PBC⊥平面PBD．

（Ⅱ）分别以DA、DP、DB为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则求出平面PBC的法向量

由此能求出AP与平面PBC所成角的正弦值

（1），

     AD 

⊥底面       PD

AD面PBD,    又 AD//BC

BC面PBD  ,  又  BC平面

平面平面…… 6分

 (2)如图，分别以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系

则，，， ，，，

 设平面的法向量为 由  可得 ，…10分………12