Question

2．在函数f（x）=alnx+（x+1）²（x＞0）的图象上任取两个不同的点P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂）（x₁＞x₂），总能使得f（x₁）-f（x₂）＞4（x₁-x₂），则实数a的取值范围为（$\frac{1}{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 先求导数$f′（x）=\frac{a}{x}+2（x+1）$，根据条件可得到$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}＞4$，从而根据导数的定义便可得到$\frac{a}{x}+2（x+1）＞4$，这样便可得到a＞-2x²+2x，容易求出二次函数y=-2x²+2x在（0，+∞）上的最大值，从而便可得出实数a的取值范围．

解答 解：$f′（x）=\frac{a}{x}+2（x+1）$；
∵x₁＞x₂；
∴x₁-x₂＞0；
∴由f（x₁）-f（x₂）＞4（x₁-x₂）得，$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}＞4$；
∴$\frac{a}{x}+2（x+1）＞4$；
∴a＞-2x²+2x恒成立；
$-2{x}^{2}+2x=-2（x-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{1}{2}≤\frac{1}{2}$；
∴$a＞\frac{1}{2}$；
∴实数a的取值范围为（$\frac{1}{2}，+∞$）．
故答案为：$（\frac{1}{2}，+∞）$．

点评 考查函数导数的定义，配方法求二次函数的最值，以及关于恒成立问题的处理方法，要正确求导．